数学研究对象是集合

    ​    ​数学研究对象是什么？这是一个根本性问题，必须说清楚。

    ​    ​记得，1957年的秋天，袁萌到南京大学图书馆借阅德国数学家Hausdorff的代表作“集合论”。

    ​    ​在这本书中，Hausdorff把序偶定义为集合：（a，b）={a，{a，b}}

    ​    ​这个定义概念清楚，让我至今记忆犹新。

    ​    ​1976年，德国数学家J. Keisler在其代表作“Elementary Calculus”中，把函数定义为由序偶的集合。

    ​    ​请见本文附件。

    ​    ​据此，数学研究对象是集合，以及集合的集合，除此之外一切其他的“东西”都不是数学的研究对象。

袁萌 （孙朗宸 代笔）

2022年1月15日

附件：

无穷小与函数的序偶定义

    ​    ​进入中文互联网搜索“无穷小与函数”关键字，你会发现，这两个基本数学概念被媒体糟蹋得不成样子，严重干扰了大学新生上网学习的兴趣。这种状况必须得到改变。

    ​    ​看问题要有历史观点，不能抓住一个“时间点”胡乱发挥。上世纪中叶，数理逻辑模型论利用“超乘积”技术给莱布尼兹所创建的微积分学（Calculus）一个历史性的辩护，使其重新获得新生。这是数学的一大进步。

    ​    ​简而言之，模型论所创立的这种新型的数系，即“超实数系”*R（Hyperreals）。在这种“超实数系”*R是一个抽象集合（Set），其中的元素都是“平等的”，也就是说，都是本质相同的超实数。超实数系*R远比传统实数系结构丰富、复杂。但是，十分巧合的是，在*R中有个相对很小的子集合R与传统实数系“保序同构”。在*R中，存在一种大于零而小于R中的一切”正数“的超实数。由于R与传统实数“保序同构”，由此，人们称这类超实数为“无穷小”(Infinitesimal)，符合我们的直观感觉，这是顺理成章的事情。在传统实数系中，谈论无穷小是无稽之谈，胡说八道。

    ​    ​函数是什么？如果函数是一种对应关系、映射关系，那么，什么是“对应”？，什么是“映射”？又是一笔糊涂账，说不清，道不明。1939年，法国布尔巴基学派将函数定义为“序偶集合”（Setof orderedpairs)，正好顺应了引入超实数*R的历史发展潮流，把传统函数定义中的“对应”、”映射“含糊说辞统统避开了。

    ​    ​在J.Keisler的《基础微积分》第一章第1.1节中，明确无误地将函数定义为”序偶集合“，干净利落，概念清晰，特别有利于大学新生的掌握、理解。为此，我阅们要引发一个学习现代无穷小微积分的群众热潮，抛开旧传统，迎接新潮流。现在，坚定主张现代无穷小的人虽然是极少数，但是，只要我们把数学真理”原汁原味地“上传到互联网上，理解的人们就会自然地跟上来了。所以，负责人工转录的文员薛lily以及负责语义校对的张xiaofeng女士，她们两人的工作都很有意义。只要我们做到了这一点（上传成功），数学真理的传播是不可阻挡的。（全文完）

袁萌  2013年6月29日