我的西皮优学习笔记（五）-＞二进制及其表示法

进制的运算

1、十进制的对比分析

在十进制的数字中，每一列的权都是前一列的10倍，从右到左，每一列的权分别是1，10，100，1000…

看到十进制数的时候会发现其右下角有一个小小的10，这个小小的数称为十进制的c基,也就是说十进制的基是10

例：比如说：2345这个数是个十进制数

我们的一般就是个直接理解2345，这种思想是我们的常识思想，其实它真正的数字意义是在我们学习数字的时候刚开始的思维方式，

两个一千，三个一百，四个10，五个1，拿过来作为机器思想的描述就是：

每一位上的数字乘上他们对应位的权，再将结果加起来得到最终的数值

2、二进制

每一位上的数字只有0和1两个值，最后将多位合并起来就组成了一个二进制数

二进制的基是2

每一列的权从右到左分别是：1，2，4，8，16…，以此类推，也就是说个位的权是20,十位21…等等，同样通过机器的思想去理解

二进制就是：每一位上的数字(0/1)去乘上对应位的权（2的几次方）

1）二进制转换为十进制

个位权对应十进制：1

十位权对应十进制：2

百位权对应十进制：4

千位权对应十进制：8

…

例：1011

描述过来就是：1 * 1+1 * 2+0 * 4 + 1 * 8

通过二进制权对应的十进制的数来实现二进制到十进制的转化

2）十进制转二进制

比如说：给定十进制数84需要转换为二进制数

那么84中含的二进制的最大权就是64

所以64这一位上的数是1

然后 通过 84+64 = 20

64的下一位上的权是32，但是20<32，所以32这一位上的数就是0

32的下一位上的权是16，同时20>16，所以16这一位上的数就是1

以此类推

得到的 84》》》1010100

3、半字节，字节和字

对于二进制 8位一组称为字节，它能表示2^8 = 256 个数字，计算机中存储数据习惯于用字节作为单位，而不是用位作为单位。

4位的一组或者说半个字节称为半字节，能表示 2^4 = 16个数字（也就是一个十六进制数占用一个半字节），不常用，1024个字节称为1千字节（kilobyte ，KB），1024比特称为1千比特（kilobit，Kb或者Kbit），相似的MB，Mb称为兆字节，和兆比特，GB和Gb称为吉字节和吉比特。内存的容量一般用字节作为单位，但是信息传输率一般用比特/秒，作为单位。

对于微处理器来说，处理的一块数据称为字，字的大小取决于微处理器的结构。64位的处理器表示对64位的字进行操作，32位的处理器

对于32位的字进行处理。比较简单的微处理器也有8位或者16位字的

**最低有效位：**在一组位中，权为1的那位称其为最低有效位（lsb）

**最高有效位：**这组的位的另一端称为最高有效位（msb）

对于一个字来说可以通过十六进制来表示，这样就可以通过最低有效字节和最高有效字节来表示：

比如说：DEAFDAD8

最低有效字节是D8

最高有效字节是DE

4、二进制的溢出：

进行十进制的加法运算的时候经常会发生一个情况就是进位，比如说两个千位极的数相加就有可能生成一个万位级的数，但是正常在进行十进制的加法的时候并不会对这个有什么疑惑，因为十进制的数字加法一般是数字长度可变的，但是对于二进制的加法来说并不一样，一般在操作二进制数的时候都是操作的定长的数字。

比如说在两个四位的二进制数相加的时候，就有可能会产生一个五位的二进制数，但是用于接收这个结果的还是四位的长度，那么此时就会产生溢出（overflow），这个时候会将生成的第五位抛弃。从而产生了一个不正确的结果。

5、有符号的二进制数

二进制用于表示数当然是可以表示正负的，之前我们一直在考虑的是表示正数的无符号数（unsigned），那么就存在可以同时表示正数和复数的有符号数（signed），而用于表示有符号的二进制数的表示方法常用的有两种：

  • 带符号的原码
  • 带符号的补码

1）带符号的原码

将一个N位的二进制数进行区域设置，从左数的第一位，也就是最高位作为符号位，剩下的N-1位置为数值位，表示当前二进制数数值的绝对值。

其中符号位上：

  • 0表示正数
  • 1表示负数

存在的问题就是，普通的二进制数运算无法在带符号的原码下完成，比如说，-5(10)和5(10)相加的结果理应是0，但是用带符号的二进制原码去计算：

​ 1101(2) + 0101(2) = 10010(2)

这样的计算结果很明显是错误且不合道理的。

表示范围：[-2(N-1)+1,2(N-1)-1]

通过带符号的原码表示的时候0有两个表示方法：+0和-0 。同一个数字有两种不同的表示方法可能会造成麻烦。

2）带符号的补码

对于补码来说最高位的权是-2(N-1)，而不是2(N-1):

因为对于二进制的补码来说正数的最高位是0，0111…11(2) = 2^(N-1) -1，复数的最高位是1，1000…000(2) = -2(N-1)。所以说最高位的权表示的是-2^(N-1），相应的最高位就可以作为符号位，因为正数的最高位都是0，负数的最高位都是1.

而数值位在转换的时候也不一样：

​ 无符号二进制数转换成有符号的二进制补码应该这样进行，首先将数扩一位，然后设置符号位，然后对对数据的每一位取反，然后在数据的最低位+1，因为二进制的补码表示0位0000000…000，具有唯一的标识方法，所以也可以进行普通的加法。

示例：

​ +2 的四位二进制补码表示为：0010

​ -2 的四位二进制补码表示为：1101 -> 1110

计算二进制补码负数的值：

​ 将二进制数1001(2)转换为十进制数：

​ 首先最高位是1，所以这个数是一个负数，然后每位取反 0110，加1 ，0111 ，这个数的十进制表达为7，所以就是-7(10)

​ 将二进制数0010(2) 转换为十进制数：

​ 首先最高位是0，所以这个数一定是一个正数，然后直接进行转换，所以这个数是2(10)

补码的加法运算：

​ 计算 -2(10) + 1(20)

​ 首先2 的二进制补码表达为0010，-2的二进制补码表达为1110(2)，1的二进制表达为0001，1的二进制补码表达为0010(2),两数相加，补码表达为1111(0)，转换成十进制数，先取反，0000(2)，加一,0001，所以计算的结果为-1

​ 计算-7(10) + 7(10)

​ 首先7的二进制表达是0111，7的二进制补码表达是0111(2)，-7的二进制补码表达是1001(2)，相加等于10000(2)，第五位抛弃，剩下的4位就是0000(2).

综上补码的运算有以下这么几条原则：

  1. 当进行N位的数据加法时，第N位的进位，也就是N+1位的结果会被丢弃，就是说，虽然我是进行4位的计算，就是说可以根据直接的数值计算的方式去计算符号位，但是最后这个数如果有第5位直接把第五位丢弃，剩下的数的值就是二进制补码计算最后的值
  2. 二进制的减法计算用补码去表示就是，将二进制的负数表示成补码，然后和第一个操作数的补码进行相加。
  3. 四位二进制数补码虽然是四位的，其实表示的范围是[-2(N-1),2[N-1]]
  4. 计算0的二进制补码的时候，就是将所有的二进制位取法，111…11(2)，然后+1，最后舍弃掉最高位，因此0是唯一的，这和原码的系统不同，补码中0没有-0这一种表达方式，因此0的表达是唯一的，被认为是正数，因为它的符号位是0

3）带符号的反码

对于一个二进制数来说，如果这个二进制数是正数，那么它的反码就是它本身，但是如果这个二进制数是负数，那么它的反码就是在其原码的基础上，符号位不变，其余的各个位取反。

比如说：

​ 1 的原码是 0001 ，它的反码是 0001

​ -1 的原码是1001， 它的反码是1110

两者相加：1 + （-1） = 0001 + 1110 = 1111(2) 然后取反 = 1000 = -0

对于反码的计算来说，结果的真值部分也就是数值部分是正确的，但是问题就出现在0这个特殊的数值上，它有100000和00000这样的两种表达方式，于是才出现了补码来解决这样的问题。

出现这样问题的原因是：

​ 首先回顾一下人脑的计算方式，在人脑中不管是几进制都会根据符号判断加减运算，然后对真值区域进行加减，到那时对于计算机来说，加减乘除作为最基本的运算，要设计的尽可能的简单，让计算机去“辨别”符号位显然是一种非常复杂的设计，于是设计出能将符号位也参与运算的方法。根据运算原则的话，减去一个数相当于加上这个数的负数，所以计算机只有加法没有减法就会极大的遍历计算机运算的设计

4）小结

各种码之间的相互转换：

  1. 原码、补码、反码的正数表达都一样不需要转换
  2. 负数的原码转反码：符号位不变，真值位各位取反
  3. 负数的反码转原码：符号位不变，真值位各位取反
  4. 负数的原码转补码：符号位不变，真值位取反，末尾+1，舍掉溢出位
  5. 负数的补码转原码：符号位不变，真值位取反，末尾+1，舍掉溢出位
  6. 负数的反码转补码：末尾+1
  7. 负数的补码转反码：末尾-1（这里的反码是补码和反码指向的同一个原码的反码，而不是补码的反码）