高等数学复习笔记（五）-一元函数积分的计算

本节为高等数学复习笔记的第五部分，一元函数积分的计算，主要包括： 四大积分基本法即凑微分法、换元法（第一类和第二类）、分部积分法以及有理函数积分法。

1. 凑微分法

1.1 基本导数公式（反过来用）

• $(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$，$(a^x{)}^{\prime }=a^{x}lna$，$(e^x{)}^{\prime }=e^x$
• $(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{xlna}（a>=,a\ne 1）$，$(lnx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
• $(sinx{)}^{\prime }=cosx$，$(cosx{)}^{\prime }=-sinx$
• $(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，$(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x=\frac{1}{co{s}^{2}x}$，$(cotx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x=-\frac{1}{si{n}^{2}x}$
• $(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$，$(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$
• $(secx{)}^{\prime }=secxtanx$，$(cscx{)}^{\prime }=-cscxcotx$
• $[ln(x+\sqrt{x^2+1})]=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，$[ln(x+\sqrt{x^2-1})]=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

1.2 两道例题（+第一类换元法）

  $eg.\int secxdx$$=\int secx\cdot \frac{tanx+secx}{tanx+secx}dx$$=\int \frac{d(secx+tanx)}{tanx+secx}$$=\int dln|secx+tanx|$$=ln|secx+tanx|$.

  $eg.求$：$I=\int \frac{co{s}^{2}x-sinx}{cosx(1+cosx{e}^{sinx})}$.

  $分析$：$若f(x)=g(x)h(x)$，$则\int f(x)dx=\int g(x)h(x)dx$，$若g^{\prime }(x)=ah(x)即dg(x)=ah(x)dx$，$即\int g(x)h(x)dx=\int \frac{1}{a}g(x)\cdot ah(x)dx$$=\frac{1}{a}\int g(x)dg(x)$.

  $解：d(cosx{e}^{sinx})=e^{sinx}(co{s}^{2}x-sinx)dx$，

  $则I=\int \frac{e^{sinx}(co{s}^{2}x-sinx)}{e^{sinx}cosx(1+cosx{e}^{sinx})}$$=\int \frac{d(cosx{e}^{sinx})}{e^{sinx}cosx(1+cosx{e}^{sinx})}$$=\int \frac{du}{u(u+1)}（第一类换元法）$$=\int (\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1})du$$=ln|u|-ln|u+1|+C$$=ln|\frac{u}{u+1}|+C$.

2 第二类换元法

2.1 换元法的思维结构

  $1）三角函数代换当被积函数存在如下根式$，$可作三角代换以去除根号$：

• $\sqrt{a^2-x^2}\to x=asint，|t|\le \frac{\pi }{2}$
• $\sqrt{a^2+x^2}\to x=atant，|t|\le \frac{\pi }{2}$
• $\sqrt{x^2-a^2}\to x=asect，x>0则0<t<\frac{\pi }{2}$；$x<0则\frac{\pi }{2}<t<\pi$

  $2）恒等变形之后作三角函数变换，当被积函数含有$$\sqrt{a{x}^2+bx+c}可以化为\sqrt{{\varphi }^2(x)+k^2}，\sqrt{{\varphi }^2(x)-k^2}，\sqrt{k^2-{\varphi }^2(x)}$，$再作三角代换$。
  $3）根式代换，当被积函数含有根{式}^n\sqrt{ax+b}，\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}，\sqrt{a{e}^{bx}+c}$，$一般令\sqrt{\ast }=t，对于既含{有}^n\sqrt{ax+b}又含{有}^m\sqrt{ax+b}的$$被积函数$，$一般令t{=}^l\sqrt{ax+b}，其中l为m、n的最小公倍数$。
  $4）倒代换，当被积函数分母幂次比分子高两次(含)以上，令t=\frac{1}{x}$
  $5）复杂函数直接替换$

2.2 例题

  $eg.计算\int \frac{dx}{(2x+1)\sqrt{3+4x-4x^2}}$.

  $解：由于\sqrt{3+4x-4x^2}=\sqrt{4-(2x-1{)}^2}$，$令2x-1=2sint$，$则dx=costdt$，$则I=\int \frac{dx}{(2x+1)(3+4x-4x^2)}$$=\int \frac{costdt}{(2sint+2)\cdot 2cost}$$=\frac{1}{4}\int \frac{1}{sint+1}$$=\frac{1}{4}\int \frac{1-sint}{co{s}^{2}t}$$=\frac{1}{4}\int ({\sec }^{2}t-\frac{sint}{co{s}^{2}t})dt$$=\frac{1}{4}(tant-\frac{1}{cost})+C$$=\frac{1}{4}(\frac{2x-1}{\sqrt{3+4x-4x^2}}-\frac{2}{\sqrt{3+4x-4x^2}})+C$$=\frac{2x-3}{4\sqrt{3+4x-4x^2}}+C$.

3. 分部积分法$\int udv=uv-\int vdu$

3.1 三种类型

• $被积函数为P_n(x)e^{kx}、P_n(x)sin\alpha x、P_n(x)cos\alpha x等形式$，$一般取u=P_n(x)$
• $被积函数为e^{ax}sinbx、e^{ax}cosbx时，可取两因子任一为u$
• $被积函数P_n(x)lnx、P_n(x)arcsinx、P_n(x)arctanx时$，$一般取u为除P_n(x)外的另一部分$

3.2 快捷方法 - 表格法

  $\int u{v}^{n+1}=u{v}^{(n)}-u^{\prime }{v}^{(n-1)}+u^{\prime \prime }{v}^{(n-2)}-...$$+(-1{)}^n{u}^{(n)}v+(-1{)}^{n+1}\int u^{(n+1)}vdx$，$具体地：$

  $1）对于第一种情况：eg.\int (x^3+2x+6)e^{2x}dx$

  $列表：$
  $x^3+2x+6，3x^2+2，6x，6，0$

     $e^{2x}，\frac{1}{2}{e}^{2x}，\frac{1}{4}{e}^{2x}，\frac{1}{8}{e}^{2x}，\frac{1}{16}{e}^{2x}$

  $则I=\int (x^3+2x+6)e^{2x}dx$=$(x^3+2x+6)\frac{1}{2}{e}^{2x}$$-(3x^2+2)\frac{1}{4}{e}^{2x}$$+6x\frac{1}{8}{e}^{2x}$$-6\cdot \frac{1}{16}{e}^{2x}+\int 0\cdot \frac{1}{16}{e}^{2x}dx$$=(\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{7}{4}x+\frac{17}{8})e^{2x}+C$

  $2）对于第二种情况：eg.I=\int e^{2x}sin3xdx$.

  $列表：$
  $sin3x，3cos3x，-9sin3x$

  $e^{2x}，\frac{1}{2}{e}^{2x}，\frac{1}{4}{e}^{2x}$

  $I=sin3x(\frac{1}{2}{e}^{2x})-3cos3x(\frac{1}{4}{e}^{2x})+\int (-sin3x\cdot \frac{1}{4}{e}^{2x})$$=(\frac{1}{2}sin3x-\frac{3}{4}cos3x)e^{2x}\cdot \frac{4}{13}+C$.

  $3）对于第三种情况：eg.I=\int arctanxdx$

  $列表：$

  $arctanx，\frac{1}{x^2+1}$

  $1，x$

  $I=xarctanx-\int \frac{x}{x^2+1}dx=xarctanx-\frac{1}{2}ln(1+x^2)+C$.

4. 有理函数积分法

  $形如\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx（n<m）$$的积分称为有理函数的积分$，$其中分子是x的n次多项式，分母是x的m次多项式$.
  $分解的基本原则：$

• $Q_m(x)的k重因式(ax+b{)}^k产生k项，分别为\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b{)}^2}+...\frac{A_k}{(ax+b{)}^k}$
• $Q_m(x)的k重因式(p{x}^2+qx+r{)}^k产生k项，分别为$$\frac{A_{1}x+B_1}{(p{x}^2+qx+r)}+\frac{A_{2}x+B_2}{(p{x}^2+qx+r{)}^2}+..+\frac{A_{k}x+B_k}{(p{x}^2+qx+r{)}^k}$

  $eg.求不定积分\int \frac{4x^2-6x-1}{(x+1)(2x-1{)}^2}dx$.

  $解：首先分解为简单分式之和：\frac{4x^2-6x-1}{(x+1)(2x-1{)}^2}$$=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{(2x-1{)}^2}$.

  $通分后解方程组，得到A=1，B=0，C=-2。$$然后逐个积分（也可以令x取不同值，得到ABC）$.

  $eg.求不定积分\int \frac{x}{x^3-x^2+x-1}dx$.

  $解：x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1)，有\frac{x}{x^3-x^2+x-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$，$则x\equiv A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)，$$得到A,B的值，分别积分$。

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